题目

设f（x）=ax³+bx²+cx的极小值为-8，其导函数y=f′（x）的图象经过点(−2，0)，(

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，0)，如图所示，

（1）求f（x）的解析式；
（2）若对x∈[-3，3]都有f（x）≥m²-14m恒成立，求实数m的取值范围．

提问时间：2020-08-03

答案

（1）∵f'（x）=3ax²+2bx+c，且y=f'（x）的图象经过点（-2，0），(

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，0)，
∴

−2+ 2 3 ＝− 2b 3a −2× 2 3 ＝ c 3a

⇒

b＝2a c＝−4a

∴f（x）=ax³+2ax²-4ax，
由图象可知函数y=f（x）在（-∞，-2）上单调递减，在(−2，

2

3

)上单调递增，在(

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3

，+∞)上单调递减，
由f（x）_极小值=f（-2）=a（-2）³+2a（-2）²-4a（-2）=-8，解得a=-1
∴f（x）=-x³-2x²+4x
（2）要使对x∈[-3，3]都有f（x）≥m²-14m恒成立，
只需f（x）_min≥m²-14m即可．
由（1）可知函数y=f（x）在[-3，-2）上单调递减，在(−2，

2

3

)上单调递增，在(

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，3]上单调递减
且f（-2）=-8，f（3）=-3³-2×3²+4×3=-33＜-8
∴f（x）_min=f（3）=-33（11分）-33≥m²-14m⇒3≤m≤11
故所求的实数m的取值范围为{m|3≤m≤11}．

（1）求出y=f'（x），因为导函数图象经过（-2，0）和（

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，0），代入即可求出a、b、c之间的关系式，再根据图象可知函数的单调性，而f（x）极小值为-8可得f（-2）=-8，解出即可得到a、b、c的值；
（2）根据函数增减性求出函数在区间[-3，3]的最小值大于等于m²-14m，即可求出m的范围．

本题考点：利用导数研究函数的极值；函数解析式的求解及常用方法；函数恒成立问题．

考点点评：考查学生会用待定系数法求函数的解析式，会利用导数求函数极值，理解函数恒成立时所取的条件．