题目

定义在R上的偶函数y=f（x）在[0，+∞）上递减，且f(

1

2

)=0，则满足f(log

1

4

x)＜0的x的集合为（　　）
A. (−∞，

1

2

)∪(2，+∞)
B. (

1

2

，1)∪(1，2)
C. (

1

2

，1)∪(2，+∞)
D. (0，

1

2

)∪(2，+∞)

提问时间：2020-08-01

答案

因为定义在R上的偶函数y=f（x）在[0，+∞）上递减，且f(

1

2

)=0，则满足f(log

1

4

x)＜0
⇔f(|log

1

4

x|)＜0＝f(

1

2

)⇔|log

1

4

x|＞

1

2

⇔

log 1 4 x≥0 log 1 4 x＞ 1 2

或

log 1 4 x＜0 −log 1 4 x＞ 1 2

⇒0＜x＜

1

2

或x＞2
故选D．

由于函数y=f（x）为R上的偶函数，所以f（x）=f（|x|），又由于y=f（x）在[0，+∞）上单调递减，所以要求的f(log

1

4

x)＜0⇔f(|log

1

4

x|)＜0＝f(

1

2

)⇔|log

1

4

x|＞

1

2

，然后解出含绝对值的对数不等式即可．

本题考点：奇偶性与单调性的综合．

考点点评：此题考查了若函数为偶函数，则f（|x|）=f（x）这一结论，还考查了函数的单调性及含绝对值的对数函数不等式的求解．