题目

设f1 f2分别是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2(a大于b大于)的左右焦点,过F1倾斜角为45度的直线l与该椭圆相交于P,Q两点,且PQ的绝对值=4/3a.（1）求该椭圆的离心率；（2）设点M（0,-1）满足MP的绝对值=MQ的绝对值,求该椭圆的方程.

提问时间：2020-07-31

答案

（1）设直线 l 的方程为 y=x+c,与椭圆交于 P(Xp,Yp)、Q(Xq,Yq),将 l 代入椭圆方程中：
(x²/a²)+[(x+c)²/b²]=1,整理得 (a²+b²)x²+2ca²x+a²c²-a²b²=0；其两根之差 |Xp-Xq|=△/(a²+b²)；
即 |Xp-Xq|=√[(2ca²)²-4(a²+b²)(a²c²-a²b²)] /(a²+b²)=√8ab²/(a²+b²)；
按题意 |pq|=4a/3=√2*[√8ab²/(a²+b²)],a²=2b²=2c²；e=c/a=√(1/2)=√2/2；
（2）因 |MP|=|MQ|,即 Xp²+(Yp+1)²=Xq²+(Yq+1)²；
将 y=x+c 代入上式 Xp²+(Xp+c+1)²=Xq²+(Yq+c+1)²,2(Xp-Xq)[(Xp+Xq)+(c+1)]=0；
因为 Xp-Xq≠0,所以 Xp+Xq+c+1=0；又由（1）可推知 Xp+Xq=-2ca²/(a²+b²)=-4c/3；
所以 (-4c/3)+c+1=0,c=3；b²=c²=9,a²=2b²=18；
椭圆方程为 (x²/18)+(y²/9)=1；