题目

已知函数f（x）=ax-（2a-1）lnx+b
（1）若f（x）在x=1处的切线方程为y=x，求实数a，b的值；
（2）当a＞

1

2

时，研究f（x）的单调性；
（3）当a=1时，f（x）在区间（

1

e

，e）上恰有一个零点，求实数b的取值范围．

提问时间：2021-01-24

答案

（1）∵f′（x）=a-

2a−1

x

，
∴k=f′（1）=a-2a+1=1，解得：a=0，
∵f（1）=ln1+b=1，解得：b=1，
∴a=0，b=1；
（2）∵f′（x）=

ax−(2a−1)

x

，且a＞

1

2

，
令f′x）＞0，解得：x＞2-

1

a

，
令f′x）＜0，解得：0＜x＜2-

1

a

，
∴f（x）在（0，2-

1

a

）递减，在（2-

1

a

，+∞）递增；
（3）a=1时，f（x）=x-lnx+b，
∴f′（x）=1-

1

x

，
令f′（x）＞0，解得：x＞1，
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，
∴f（x）在（

1

e

，1）递减，在（1，e）递增，
若f（x）在区间（

1

e

，e）上恰有一个零点，
∴

f( 1 e )＞0 f(e)＜0

，或

f( 1 e )＜0 f(e)＞0

，或f（1）=0，
解得：1-e＜b＜1-

1

e

，
∴实数b的取值范围是（1-e，1-

1

e

）．

（1）由f′（x）=a-

2a−1

x

，得k=f′（1）=a-2a+1=1，解得：a=0，由f（1）=ln1+b=1，解得：b=1，
（2）由f′（x）=

ax−(2a−1)

x

，且a＞

1

2

，令f′x）＞0，解得：x＞2-

1

a

，令f′x）＜0，解得：0＜x＜2-

1

a

，从而f（x）在（0，2-

1

a

）递减，在（2-

1

a

，+∞）递增；
（3）a=1时，f（x）=x-lnx+b，得f′（x）=1-

1

x

，从而f（x）在（

1

e

，1）递减，在（1，e）递增，由f（x）在区间（

1

e

，e）上恰有一个零点，得不等式组，解出即可．

本题考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评：本题考察了函数的单调性，函数的最值问题，导数的应用，是一道综合题．