题目

设函数f(x)=x^3+ax^2-a^2x+1,g(x)=ax^2-2x+1,其中实数a不等0
(1)若a>0,求函数f(x)的单调区间
(2)当函数y=f(x)与y=g(x)的图象只有一个公共点且g(x)存在最小值时,记g(x)的最小值为h(a),求h(a)的值域
第一小问会做,第二小问不会,可以只回答第二问

提问时间：2020-07-31

答案

只有一个公共点则x^3+ax^2-a^2x+1=ax^2-2x+1只有一个解
x^3+(2-a^2)x=0
x(x²+2-a²)=0
x=0是解
所以x²+2-a²=0无解
x²=a²-2<0
-√2g(x)=a(x-1/a)²-1/a+1有最小值
则开口向上,a>0
所以0则x=1/a时
最小值h(a)=-1/a+1
01/a>1/√2
-1/a<-1/√2
-1/a+1<1-1/√2=(2-√2)/2
所以值域(-∞,(2-√2)/2]