题目

在数列｛an｝中a1=1Sn是其前几项和,当n>=2时,Sn与an满足关系式2Sn^2=an（2Sn-1）证明｛1/Sn｝是等差数列
并求｛an｝的通项公式（2）设bn=Sn/2n+1,求数列｛bn｝的前n项和Tn

提问时间：2020-07-27

答案

1) 2Sn^2=an*(2Sn-1)=(Sn-S(n-1)(2Sn-1)
2Sn^2=2Sn^2-2Sn*S(n-1)-Sn+S(n-1)
S(n-1)-Sn=2Sn*S(n-1)
两边同除以 Sn*S(n-1) 得
1/Sn-1/S(n-1)=2
由于 1/S1=1/a1=1,
所以 ｛1/Sn｝是首项为1,公差为2的等差数列.
则 1/Sn=2n-1
Sn=1/(2n-1)
a1=1,当n>=2时,an=Sn-S(n-1)=1/(2n-1)-1/(2n-3)=-2/(2n-1)(2n-3)
所以,an=｛1（n=1）；-2/(2n-1)(2n-3) （n>=2） （分段表示）
2）b1=S1/3=1/3,bn=Sn/(2n+1)=1/[(2n-1)*(2n+1)]=1/2*[1/(2n-1)-1/(2n+1)] (n>=2)
所以若 n=1,则T1=1/3,
若n>=2,则Tn=b1+1/2*[1/3-1/5+1/5-1/7+...+1/(2n-1)-1/(2n+1)]=1/3+1/2*[1/3-1/(2n+1)]
=n/(2n+1)
显然,n=1时,T1=1/3也满足上式,
所以 Tn=n/(2n+1) (n>=1,n为正整数).