题目

已知椭圆x²/a²+y²/b²=1与x轴正向交于点A,若这个椭圆上总存在点P,使OP⊥AP（点O为原点）,求离心率e取值范围

提问时间：2020-07-27

答案

OA=a,设∠AOP=θ,则OP=acosθ,这样就得到点P的坐标：（acos²θ,acosθsinθ）
因为存在点P在这个椭圆上
所以存在φ,使得：
acos²θ=acosφ,.(1)
acosθsinθ=bsinφ.(2)
由（1）得：cos²θ=cosφ
由（2）得：a²cos²θsin²θ=b²sin²φ
所以：a²cosφ（1-cosφ）=b²sin²φ=b²(1-cos²φ)
约掉1-cosφ,得：
a²cosφ=b²(1+cosφ)
解得:cosφ=b²/(a²-b²)≤1
2b²≤a²
2(a²-c²)≤a²
a²≤2c²
1≤2e²
e²≥1/2
又因为椭圆的离心率e满足：0