题目

求使z方-a方/z方+a方(a>0)为纯虚数的充要条件

提问时间：2021-03-22

答案

由于a>0,从而a为实数.设z=m＋bi,代入,得：
z²－a²/z²＋a²=[(m²－b²－a²)＋2mbi]/[(m²－b²＋a²)＋2mbi]
这个复数分母实数化后的实部是(m²－b²－a²)(m²－b²＋a²)＋4m²b²=(m²－b²)²－(a²)²＋4m²b²=(m²＋b²)²－(a²)²=0,即m²＋b²=a²,复数z的模等于a.
这个复数化简后的虚部是(m²－b²－a²)(－2mb)＋(m²－b²＋a²)(2mb)=(2mb)(2a²)=4mba²≠0,也即m≠0且b≠0.
至此,充要条件是z的模为a,且复数z的实部和虚部都不等于0.