题目

如图,三角形ABC是正三角形,三角形BDC是顶角角BDC为120度的等腰三角形,以D为顶点作一个60度角,角的两边交AB,AC边于M,N两点,连接MN.
若点M,N分别是射线AB,CA上的点,其他条件不变,再探究线段BM,MN,NC之间的关系,在图中画出图形,并说明理由.

提问时间：2020-07-27

答案

(1)
设AB=AC=BC=a,作DE⊥BC交BC于E,则E在AD上,AD平分∠BAC和∠BDC
DE=(a/2)*√3/3=a√3/6
BD=DC=a√3/3
∠BDM+∠MDA=60°=∠MDA+∠ADN,===>∠ADN=∠BDM
ΔBMD、ΔDEG和ΔDCN都是RtΔ,===>∠BMD=∠DGB
设MD交BC于F,DN交BC于G,==>∠BFM=∠DNC
则有：ΔDFG∽ΔBFM∽ΔCFN,∠BFM=∠DNC,∠BMF=∠NGC
连接NF、MG交于O,连接并延长DO交MN于P
由ΔDFG∽ΔBFM∽ΔCFN==>MF:FG=MB:DG=BF:DF,FG:NG=FD:NC=DG:CG
===>ΔMFG∽ΔBFD,ΔFGN∽ΔDCG===> ∠FMG=∠FNG=30°
==>NF⊥MD,MG⊥ND,O为三角形MND的垂心,PD⊥MN
方法一
PDBM共圆,PDCN共圆,PD=CD=BD
===>MP=MB,PN=CN
MN=CN+BM
(2) 若AN=CN,则CN=NP=a/2,CD=BD=PD=a√3/3,CE=a/2
ND^2=CD^2+CN^2=a^2/3+a^2/4=7a^2/12,ND=a√21/6
NF=ND*sin60°=a√7/4,设PM=x,PM:PD=MF:NF
MF=x*√21/4,FD=ND/2=a√21/12===>MD=√21/12(3x+a)
MD^2-MP^2=PD^2=a^2/3=7/48(3x+a)^2-x^2
16a^2+48x^2-63x^2-7a^2-42ax=0；3a^2-5x^2-14ax=0===>x=a/5
MN=a/5+a/2=7a/10；MD=a√21/12(3/5+1)=2a√21/5；
MB^2=MD^2-BD^2=84a/225-a^2/3=a^2/25,MB=a/5
BM+CN=a/5+a/2=7a/10=MN；(3)DM//AC时,∠BDM=∠CDN=30°
△DMN是正三角形,DN=CD/cos30°=2a/3=MN
CN=BM=ND/2；显然MN=BM+CN