题目

是否存在实数a，使函数f（x）=x²-2ax+a的定义域为[-1，1]时，值域为[-2，2]？若存在，求a的值；若不存在，说明理由．

提问时间：2020-07-27

答案

由于函数f（x）=x²-2ax+a的对称轴为 x=a，
当a<-1 时，函数f（x）=x²-2ax+a在定义域[-1，1]上是增函数，故有

1+2a+a=-2 1-2a+a=2

，
解得 a=-1 （舍去）．
当 0>a≥-1 时，函数f（x）=x²-2ax+a在定义域[-1，1]上先减后增，故有

f(a)=-a2+a =-2 f(1)=1-2a+a=2

，
解得a=-1．
当 1>a≥0 时，函数f（x）=x²-2ax+a在定义域[-1，1]上先减后增，故有

f(a)=-a2+a =-2 f(-1)=1+2a+a=2

，
解得a 无解．
当a≥1 时，函数f（x）=x²-2ax+a在定义域[-1，1]上是减函数，

f(-1) =1+3a =2 f(1)=1-a=-2

，解得 a 无解．
综上可得，a=-1．

由于函数f（x）=x²-2ax+a的对称轴为 x=a，分a＜-1、0＞a≥-1、1＞a≥0、a≥1 四种情况利用函数的单调性以及定义域、值域求出a的值．

本题考点：二次函数在闭区间上的最值．

考点点评：本题考查的知识点是二次函数的性质，函数的最值及其几何意义，其中熟练掌握二次函数的图象和性质，以及二次函数各系数的作用是解答本题的关键，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．