题目

已知椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为二分之根号三,过右焦点F且斜率为K(k>0)的直线与C相交于A、B两点,若向量AF=3倍向量FB,则K=
下面解法中 【向量AF=3向量FB,则xA-xF=3(xF-XB),】,向量与x轴有什么直接的关系~
根据题意,椭圆的离线率为√3/2,右焦点坐标为（xF,yF）,其中xF=c=√3/2 a,YF=0
椭圆的右准线方程为 x=a平方/c=2/√3 a=2√3 / 3 a
向量AF=3向量FB,则xA-xF=3(xF-XB),得
xA+3xB=4xF=4c=2√3 a
又由椭圆的性质知,椭圆的离心率,就是椭圆上的动点到焦点的距离和该点到相应准线的比值
即
|向量AF| =（2√3 / 3 a -xA）√3/2
|向量BF| =（2√3 / 3 a -xB）√3/2
又|向量AF|=3|向量BF|
∴（2√3 / 3 a -xA）√3/2 = 3（2√3 / 3 a -xB）√3/2
得到2√3 / 3 a -xA= 3（2√3 / 3 a -xB）
3xB-xA=4√3 / 3 a
结合xA+3xB=2√3 a
解得xB=10√3 / 18 a
代入椭圆方程,解得yB= ±√6 /18 a
k=(yB-YF) / (xB -XF)
=±√6 /18 a / (10√3 / 18 a-√3/2 a)=± √2

提问时间：2020-07-27

答案

做椭圆右准线,从A、B分别做准线的垂线AM、BN,垂足M、N,
做BD⊥AM,垂足D,
根据椭圆第二定义,
e=|AF|/|AM|,
e=|BF|/BN|,
|AF|/|BF|=|AM|/BN|=3,
|AM|=3|BN|,
|MD|=|NB|,
|AD|=2|MD|,
|AD|=2|MA|/3,
又因|AF|/|AM|=√3/2,所以|AB|=4/3|AF|=2√3/3|AM|,
∴|AD|/|AB|=√3/3,
设直线倾斜角是θ,即有cosθ=√3/3,
所以直线斜率k=tanθ=√2.