题目

设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意实数x,恒有f(x+2)=-f(x)
当x属于[0,2]时,f(x)=2x-x^2
(1)求证；f(x)是周期函数
（2）当x属于[2,4]时,求f(x)的解析式
（3）计算f(0)+f(1)+f(2)+……+f(2008)

提问时间：2020-07-27

答案

(1)由于f(x+2)=-f(x),那么(用x+2代替x,可以得到)f[(x+2)+2]=-f(x+2)=-[-f(x)]=f(x)
则f(x+4)=f(x),f(x)是以4为周期的周期函数
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(2)由题设我们知道x∈[0,2]时,f(x)=2x-x^2
当x∈[-2,0]时,-x∈[0,2],那么f(-x)=2*(-x)-(-x)^2=-2x-x^2
又因为f(x)为奇函数,所以f(x)=-f(-x)
可以得到 在x∈[-2,0]时,f(x)=-(-2x-x^2)=2x+x^2
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x∈[2,4],那么x-4∈[-2,0],那么f(x-4)=2(x-4)+(x-4)^2=x^2-6x+8
由于f(x)的周期是4,所以f(x)=f(x-4)=x^2-6x+8
因此,在x∈[2,4]时,f(x)=x^2-6x+8
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(3)由x∈[0,2]时,f(x)=2x-x^2,
得到f(0)=f(4)=f(8)=……=0
f(1)=f(5)=f(9)=……=1
由x∈[2,4]时,f(x)=x^2-6x+8
得到f(2)=f(6)=f(10)=……0
f(3)=f(7)=f(11)=……-1
f(0)+f(1)+f(2)+……+f(2008)总共是2009个f()相加,每四个的和为0,所以前2008个的和都为0,f(2008)=f(0+4*502)=f(0)=0
所以f(0)+f(1)+f(2)+……+f(2008)=0