题目

已知抛物线的方程为y2=6x求过焦点F的弦的中点的轨迹

提问时间：2020-07-27

答案

y²=6x的焦点为F(3/2,0),设A(x1,y1),B(x2,y2)为焦点弦AB两个端点的坐标,
M（x,y）为AB的中点.
①当AB⊥x轴时,M点就的F
②当AB与x轴不垂直时,设AB所在的直线方程为
y=k(x - 3/2) (1)
将A、B的坐标代入 y²=6x,得
y1²=6•x1
y2²=6•x2
两式相减,得 y2²- y1²=6(x2-x1)
因为AB与x轴不垂直,所以有
(y2-y1)/(x2-x1)=6/(y1+y2)
即 k=6/(y1+y2)=3/y
另一方面,由于M是AB的中点,在直线AB上,所以M的坐标也满足（1）式.
将k=3/y 代入 (1) 式,得
y²=3(x-3/2) (2)
容易看出,当M与F重合时,坐标也适合 （2）式
所以过焦点F的弦的中点的轨迹 方程为
y²=3(x-3/2)
这是一个顶点为(3/2,0)对称轴为x轴的抛物线.