题目

在三角形ABC中,若acos（C/2）+ccoc^2（A/2）=3b/2,则求证：a+c=2b

提问时间：2020-07-26

答案

a[2cos²(C/2)]+c[2cos²(A/2)]=3b
--->a(1+cosC)+c(1+cosA)=3b
--->a(a²+b²-c²+2ab)/(2ab)+c(b²+c²-a²+2bc)/(2bc)=3b
--->2b²+2ab+2bc=6b²
--->2ab+2bc=4b²
--->a+c=2b
根据正弦定理~a/sinA=b/sinB=c/sinC
所以sinA(1+cosC)/2+sinC(1+cosA)/2=3sinB/2
所以(sinA+sinC)/2+sin(A+C)/2=3sinB/2
所以sinA+sinC=3sinB-sin(A+C)=3sinB-sinB=2sinB
由正弦定理~a/sinA=b/sinB=c/sinC
得到a+c=2b
最关键的就是~第一是正弦定理的应用~
第二是(cosC/2)^2=(1+cosC)/2
这个是2倍角公式~