题目

已知a,b,c是△ABC的三边,c=5,并且关于x的方程(b+c)x^2+2ax+(c-b)=0有两个相等实数根,a,b两边的长是关于x的方程x^2+(2m-1)x+m^2+3=0的两个根,求△ABC中AB边上的高.

提问时间：2020-07-26

答案

关于x的方程(b+c)x^2+2ax+(c-b)=0有两个相等实数根
Δ=（2a）²-4(b+c)(c-b)=4a²-4（c²-b²）=4a²-4（5²-b²）=4a²+4b²-100=0
所以a²+b²=25=c²,△ABC是直角三角形
a,b两边的长是关于x的方程x^2+(2m-1)x+m^2+3=0的两个根
a+b=-(2m-1),ab=m²+3
a²+b²=（a+b）²-2ab=4m²-4m+1-2m²-6=2m²-4m-5=25
2m²-4m-30=0,m=5或-3
m=5时,方程x^2+(2m-1)x+m^2+3=0为x^2+9x+28=0,无解
m=-3时,方程x^2+(2m-1)x+m^2+3=0为x^2-7x+12=0,解为x=3或4
所以a,b两边的长是3,4
直角三角形△ABC三边长3,4,5
△ABC面积=1/2*ab=1/2c*AB边上的高
△ABC中AB边上的高=3×4÷5=2.4