题目

在四棱锥P-ABCD中,AD垂直AB ,CD平行AB, PD垂直底面ABCD,AB/AD=根号2,直
（1）求二面角P-MN-D的大小
（2）当CD/AB的值为多少时,三角形CDN为直角三角形?求详解,谢谢.
直线PA与底面ABCD成60度角,
点M,N分别是PA,PB的中点.

提问时间：2020-07-25

答案

1、∵PD⊥平面ABCD,AB∈平面ABCD,
∴PD⊥AB,
∵AB⊥AD,AD∩PD=D,
∴AB⊥平面PAD,
∵MN是△PAD的中位线,
∴MN//AB,
∴MN⊥平面PAD,
∴PM⊥MN,MD⊥MN,
∴〈PMD是二面角P-MN-D的平面角,
∵在RT△PDA中,〈PAD=60°,
AM=MD,（RT△斜边中线为斜边一半）,
〈MAD=〈MDA,
∴〈PMD=2*60°=120°.
二面角P-MN-D的大小为120度.
2、设AD=1,PD=√3,AB=√2,
BD=√3,PB=√6,
DN=√6/2,
当BC⊥DC时,即四边形ABCD是矩形时,
根据三垂线定理,PC⊥BC,
△PCB是RT△,
NC=PB/2=√6/2,
若〈DNC=90°,
则根据勾股定理,
CD=√3,
∴CD/AB=√3/√2.