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题目
数学导数切线方程
已知曲线y=1/3x³+4/3.求曲线过点(2,4)的切线方程.
注意是过点(2,4),不是在点(2,4)处的方程

提问时间:2020-07-25

答案
设切点坐标为(a,b),则 b=1/3a³+4/3 (1)
由 y' = x^2 得切线斜率为 k = a^2 ,切线方程为 y - b =a^2 (x - a),
因切线过(2,4),就有 4 - b =a^2 (2 - a),即 a^3 - 2a^2 + 4 = b (2)
联立(1)(2)消去b 并化简整理得 a^3 -3 x^2+4 = 0,(a+1) (a-2)^2 =0(这步只要注意到该方程必有一根a=2,就容易分解因式了),所以a=2,或 a=-1.
所以切点为(-1,1),或(2,4)
所以,所求切线方程为 y - 1= x+1,或y-4 = 4(x - 2),即 x - y +2 =0 或4x -y -4 = 0.
备注:过点(2,4)的切线也包括在点(2,4)处的切线.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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