题目

数学帝来呀…………已知中心在原点,焦点在x轴上的椭圆的离心率为2倍根号2
已知中心在原点,焦点在x轴上的椭圆的离心率为2倍根号2 ,F1、F2为其焦点,一直线过点F1与椭圆相交于A/B两点,且三角形F2AB的最大面积为根号2,求椭圆的方程.
救人一命胜造七级浮屠,虽然我穷得没有悬赏的分了,冰天雪地跪谢!
哦打错了 是二分之根号二………………

提问时间：2020-07-25

答案

由于离心率为√2/2,所以c/a=√2/2,又根据椭圆定义,a^2=b^2+c^2,联合解得
a^2=2b^2且b=c.故椭圆方程可写为
x^2/2b^2+y^2/b^2=1.
可设,过F1点的直线方程式为Y=Kx+B,且经过点
（-3,0）,故方程可写成Y=K(x+c).
代入椭圆方程式,化简得到：
y^2(1+2k^2)-2bky-b^2=0,解得
y1-y2=8k^2b^2(1+k^2).
三角形F2AB的面积其实就是2c为底边,y的绝对值为高的二个三角形之和,加在一起就是
c*(y1-y2),又因为c是固定的,所以,最大面积取决于（y1-y2）,又因为
y1-y2=8k^2b^2(1+k^2).所以k=+∞时,面积最大.
当k=+∞时,直线方程可变成x=-c.
再代入椭圆方程再加上（a^2=2b^2且b=c）解得
y=+与-（√2/2）*b.
则y1-y2=√2b.
最大面积=c*(y1-y2)=√2cb=√2,又因为
b=c,所以b=c=1,b^2=c^2=1.又因为a^2=2b^2,所以a^2=2.
所以解得椭圆方程:
(x^2/2)+(y^2)=1