题目

已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的长轴长为4,离心率为1/2,点P是椭圆上异于顶点的任意一点,过点P作椭圆的切线L,交y轴于点A,直线L1过电P且垂直于L,交y轴于B.
（1）求椭圆的方程
（2）试判断以AB为直径的圆能否经过定点?理由

提问时间：2021-01-26

答案

(1).长轴长为2a=4,a=2,离心率为e=c/a=1/2,c=1,b^2=a^2-c^=2^2-1^2=4-1=3,椭圆的方程为x^2/4+y^2/3=1
(2)设P点坐标为(x,y,),则过点P的椭圆的切线L方程为xx,/4+yy,/3=1,L与y轴的交点A(0,3/y,),切线L的斜率为
-(x,/4)/(y,/3)=-3x,/(4y,),过P且垂直于L的直线L1斜率为4y,/(3x,),直线L1方程为y-y,=[4y,/(3x,)](x-x,),直线L1与y轴交点B(0,-y,/3),设Q(X,Y)为以AB为直径的圆上任一点,当Q不同于A、B时直线QA垂直与直线QB,斜率之积=-1,即kQA*kQB=[(Y-3/y,)/(X-0)][(Y+y,/3)/(X-0)]=-1,整理得(Y-3/y,)(Y+y,/3)+X^2=0,A、B坐标满足此方程,
再整理得X^2+Y^2+(y,/3-3/y,)Y-1=0,此方程表示以AB为直径的圆,当Y=0,X=1或-1(与P点坐标为(x,y,)无关),
这说明以AB为直径的圆过定点(1,0)和(-1,0).