题目

在1000以内,除以3余2,除以7余3,除以11余4的数有多少个?有没有什么快速运算的方法?

提问时间：2020-07-25

答案

推理方法
首先列出除以3余2的数：2,5,8,11,14,17...一般只要列出不超过10个数即可.然后在这些数里面找出除以7余3的最小数,即是17.然后从17开始往后列,加3和7的公倍数21：17,38,59,80,101...然后在这些数里面找出除以11余4的数.即是59.则我们就知道除以3余2,除以7余3,除以11余4的最小数就是59.后面的数就是59依次加上3,7和11的最小公倍数231.所以这些数为59,290,521,752,983.一共有5个.
数学证明（适合于数比较多的方法）
设满足条件的数为m,0≤m≤1000则：
m=3a+2.(1)
m=7b+3.(2)
m=11c+4.(3)
(1)*77: 77m=231a+154.(4)
(2)*33: 33m=231b+99 .(5)
(3)*21: 21m=231c+84 .(6)
(4)-(5)-(6)*2: 2m=231(a-b-2c)-113=231k+118,其中：k=a-b-2c-1
∵2m为偶数,∴k为偶数,设k=2n,则：2m=462n+118
---->m=231n+59
∵0≤m≤1000,
∴0≤231n+59≤1000---->0≤231n≤941---->0≤n≤[941/231]=4
所以,在1000以内,符合条件的数有5个