题目
a,b是整数,若对所有正整数n,(2^n)a+b为完全平方数,证明:a=0
提问时间：2020-07-25
答案
重点是以下观察:当a·2^n+b与a·2^(n+2)+b都为完全平方数,
可知3b = 4(a·2^n+b)-(a·2^(n+2)+b)为两个数的平方差.
若a ≠ 0使得对任意正整数a·2^n+b都是完全平方数,
则上式表明3b有无穷多种方式写成两个完全平方数之差.
然而,对任意取定的整数b,3b = x²-y² = (x+y)(x-y)只有有限组整数解 (x+y只能为3b的约数),矛盾.
因此a = 0.
可知3b = 4(a·2^n+b)-(a·2^(n+2)+b)为两个数的平方差.
若a ≠ 0使得对任意正整数a·2^n+b都是完全平方数,
则上式表明3b有无穷多种方式写成两个完全平方数之差.
然而,对任意取定的整数b,3b = x²-y² = (x+y)(x-y)只有有限组整数解 (x+y只能为3b的约数),矛盾.
因此a = 0.
举一反三
已知函数f（x）=x，g（x）=alnx，a∈R．若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）相交，且在交点处有相同的切线，求a的值和该切线方程．
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
最新试题
- 1英语商务信函修改
- 2《士人善画》 评价画精美的词语是什么!急.只要词语~
- 3若f(x)=sin(πx/3),则f(1)+f(2)+f(3)+……+f(2010)=?
- 4I was worried that me翻译中文
- 5世界上的重要航线?它们各经过哪些海洋、海峡、运河?
- 6夏姑娘：秋姑娘：冬姑娘：
- 7过抛物线y= （四分之一x2）准线上任一点作抛物线的两条切线,若切点分别为M,N,则直线MN过定点
- 8已知E、F分别是棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱A1A、CC1的中点，求四棱锥C1-B1EDF的体积．
- 9_____ books have been missing from the library
- 10在标况下,2.8L某气体的质量是3.5g,已知该气体是由碳和氢两种元素组成的化合物,且化合物中碳元素的质量分数为85.7％,氢元素的质量分数为14.3％,求该气体的分子式?
热门考点