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题目
下面是芩芩用换元法解方程2(x+1)2+3(x+1)(x-2)-2(x-2)2=0的解答过程,请你判断是否正确.若有错误,请按上述思路求出正确答案.
解:设x+1=m,x-2=n,则原方程可化为:2m2+3mn-2n2=0,
即a=2,b=3n,c=-2n2
∴m=
3n±
9n2−4×2(−2n2)
2
=
3n±5n
2

即 m1=4n,m2=-n.
所以有x+1=4(x-2)或x+1=-(x-2),
∴x1=3,x2=
1
2

提问时间:2020-07-25

答案
该解答有错误.正确解答如下:
设x+1=m,x-2=n,则原方程可以为:2m2+3mn-2n2=0
即a=2,b=3n,c=-2n2
∴m=
−3n±
9n2−4×2(−2n2)
2×2
=
−3n±5n
4

∴m1=
1
2
n,m2=-2n,
∴x+1=
1
2
(x-2)或x+1=-2(x-2)
∴x1=-4,x2=1.
芩芩在运用一元二次方程的求根公式求根时出现错误.设x+1=m,x-2=n,利用换元法把原方程转化为:2m2+3mn-2n2=0,然后利用一元二次方程的求根公式解得m1=12n,m2=-2n,再转化为关于x的方程x+1=12(x-2)或x+1=-2(x-2),解方程即可.

换元法解一元二次方程.

本题考查了运用换元法解方程的方法:用一个字母代替一个代数式,把高次方程转化为一元二次方程或一元一次方程;也考查了一元二次方程的求根公式.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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