题目

已知a，b为实数，并且e＜a＜b，其中e是自然对数的底，证明a^b＞b^a．

提问时间：2020-07-25

答案

证：当e＜a＜b时，要证a^b＞b^a，只要证blna＞alnb，
即只要证

lna

a

＞

lnb

b

考虑函数y＝

lnx

x

(0＜x＜+∞)
因为但x＞e时，y′＝

1−lnx

x2

＜0，
所以函数y＝

lnx

x

在(e，+∞)内是减函数
因为e＜a＜b，所以

lna

a

＞

lnb

b

，即得a^b＞b^a