题目

已知双曲线过点P(−3

2

，4)，它的渐近线方程为y＝±

4

3

x
（1）求双曲线的标准方程；
（2）设F₁和F₂是这双曲线的左、右焦点，点P在这双曲线上，且|PF₁|•|PF₂|=32，求∠F₁PF₂的大小．

提问时间：2020-07-25

答案

（1）根据题意，双曲线的渐近线方程为y＝±43x，可设双曲线的方程为x29−y216=λ，λ≠0；双曲线过点P(−32，4)，将P的坐标代入可得λ=1；则所求的双曲线方程为x29−y216＝1（2）设|PF1|=d1，|PF2|=d2，则d1•d2=32...

（1）根据题意，由双曲线的渐近线方程可设双曲线的方程为

x2

9

−

y2

16

=λ，λ≠0；又因为双曲线过点P(−3

2

，4)，将P的坐标代入可得λ=1；将λ=1代入可得答案；
（2）设|PF₁|=d₁，|PF₂|=d₂，根据题意有d₁•d₂=32，又由双曲线的几何性质知|d₁-d₂|=2a=6，结合平方差公式可得d₁²+d₂²的值，又|F₁F₂|=2c=10，结合勾股定理可得答案．

本题考点：双曲线的标准方程．

考点点评：本题考查双曲线的应用，涉及双曲线的标准方程、定义以及平方差公式等多个知识点，需要平时特别注意，加强训练．