题目

1.若f(x)定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,且x∈(0,+∞)上为增函数,f(-2)=0.求不等式x·f(x)＜0解集.
2.已知f(x)定义在[-1,1]上的偶函数,且x∈[0,1]上为增函数,满足f(a)≤f(1/2),求a的取值范围

提问时间：2020-07-24

答案

1.f(x)是奇函数且x∈(0,+∞)上为增函数,则f(x)在(-∞,0)也是增函数.于是x·f(x)＜0等价于：
x>0 ,f(x)＜0　或x＜0 ,f(x)>0　.因为f(-2)=0,所以f(2)=0,所以x>0 ,f(x)＜0的解是0＜x＜2；x＜0 ,f(x)>0的解是－2＜x＜0.
因此不等式x·f(x)＜0解集是｛x|－2＜x＜0或0＜x＜2｝
2.f(x)定义在[-1,1]上的偶函数,且x∈[0,1]上为增函数,则f(x)在x∈[－1,0]上为减函数,因此满足f(a)≤f(1/2),则么-1/2≤a≤1/2