题目

椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的两个焦点是F1,F2,以F1F2为边作三角形,若椭圆恰平分三角形的另两边,则椭圆的离心率为

提问时间：2020-07-24

答案

请给出三角形的第三个顶点,否则无法解答!
此题是否为：“椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1（a>b>0)的两个焦点是F1,F2,以F1F2为边作正三角形,若椭圆恰平分三角形的另两边,则椭圆的离心是多少?”
如果是,则见下
由题意可知,第三个顶点为(0,±（√3）c）
由于椭圆与三角形另两边交与另两边的中点,
则交点坐标为（±c/2,±（√3/2）c）
将其代入椭圆的方程,并整理得
b^2c^2+3a^2c^2=4a^2b^2
由于b^2=a^2-c^2
则(a^2-c^2)c^2+3a^2c^2=4a^2(a^2-c^2)
整理得c^4-8a^2c^2+4a^4=0
(c/a)^4-8(c/a)^2+4=0
即e^4-8e^2+4=0
解之得e^2=4±2√3=(√3±1)^2,e=√3±1（√3+1＞1舍去）
即椭圆离心率为√3-1.