题目
如图，直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠DAB=90°，AD=2DC=4，AB=6．动点M以每秒1个单位长的速度，从点A沿线段AB向点B运动；同时点P以相同的速度，从点C沿折线C-D-A向点A运动．当点M到达点B时，两点同时停止运动．过点M作直线l∥AD，与线段CD的交点为E，与折线A-C-B的交点为Q．点M运动的时间为t（秒）．
（1）当t=0.5时，求线段QM的长；
（2）当0＜t＜2时，如果以C、P、Q为顶点的三角形为直角三角形，求t的值；
（3）当t＞2时，连接PQ交线段AC于点R．请探究
（1）当t=0.5时，求线段QM的长；
（2）当0＜t＜2时，如果以C、P、Q为顶点的三角形为直角三角形，求t的值；
（3）当t＞2时，连接PQ交线段AC于点R．请探究
| CQ |
| RQ |
提问时间：2020-07-24
答案
（1）过点C作CF⊥AB于F，则四边形AFCD为矩形．∴CF=4，AF=2，
此时，Rt△AQM∽Rt△ACF，（2分）
∴
| QM |
| AM |
| CF |
| AF |
即
| QM |
| 0.5 |
| 4 |
| 2 |
∴QM=1；（3分）
（2）∵∠DCA为锐角，故有两种情况：
①当∠CPQ=90°时，点P与点E重合，
此时DE+CP=CD，即t+t=2，∴t=1，在0＜t＜2内，（5分）
②当∠PQC=90°时，如备用图1，
此时Rt△PEQ∽Rt△QMA，∴
| EQ |
| PE |
| MA |
| QM |
由（1）知，EQ=EM-QM=4-2t，
而PE=PC-CE=PC-（DC-DE）=t-（2-t）=2t-2，
∴
| 4−2t |
| 2t−2 |
| 1 |
| 2 |
∴t＝
| 5 |
| 3 |
综上所述，t=1或
| 5 |
| 3 |
（3）
| CQ |
| RQ |
当t＞2时，如备用图2，PA=DA-DP=4-（t-2）=6-t，
由（1）得，BF=AB-AF=4，
∴CF=BF，
∴∠CBF=45°，
∴QM=MB=6-t，
∴QM=PA，
∵AB∥DC，∠DAB=90°，
∴四边形AMQP为矩形，
∴PQ∥AB，
∴△CRQ∽△CAB，
∴
| CQ |
| RQ |
| BC |
| AB |