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题目
如图,在数轴上A点表示数a,B点表示数b,AB表示A点和B点之间的距离,且a、b满足|a+2|+(b+3a)2=0
(1)求A、B两点之间的距离;
(2)若在数轴上存在一点C,且AC=2BC,求C点表示的数;
(3)若在原点O处放一挡板,一小球甲从点A处以1个单位/秒的速度向左运动;同时另一小球乙从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动,在碰到挡板后(忽略球的大小,可看作一点)以原来的速度向相反的方向运动,设运动的时间为t(秒),
①分别表示甲、乙两小球到原点的距离(用t表示);
②求甲、乙两小球到原点的距离相等时经历的时间.

提问时间:2020-07-24

答案
(1)∵|a+2|+(b+3a)2=0,
a+2=0,b+3a=0,
∴a=-2,b=6;
∴AB的距离=|b-a|=8;
(2)设数轴上点C表示的数为c.
∵AC=2BC,
∴|c-a|=2|c-b|,即|c+2|=2|c-6|.
∵AC=2BC>BC,
∴点C不可能在BA的延长线上,则C点可能在线段AB上和线段AB的延长线上.
①当C点在线段AB上时,则有-2≤c≤6,
得c+2=2(6-c),解得c=
10
3

②当C点在线段AB的延长线上时,则有c>6,
得c+2=2(c-6),解得c=14.
故当AC=2BC时,c=
10
3
或c=14;
(3)①∵甲球运动的路程为:1•t=t,OA=2,
∴甲球与原点的距离为:t+2;
乙球到原点的距离分两种情况:
(Ⅰ)当0<t≤3时,乙球从点B处开始向左运动,一直到原点O,
∵OB=6,乙球运动的路程为:2•t=2t,
∴乙球到原点的距离为:6-2t;
(Ⅱ)当t>3时,乙球从原点O处开始一直向右运动,
此时乙球到原点的距离为:2t-6;
②当0<t≤3时,得t+2=6-2t,
解得t=
4
3

当t>3时,得t+2=2t-6,
解得t=8.
故当t=
4
3
秒或t=8秒时,甲乙两小球到原点的距离相等.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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