题目

复数的几道题目
已知复数Z满足Z+丨Z丨＝4-2i,求z
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已知复数z满足（1+2i)Z=4+3i,求z
已知丨z1丨=1,丨z2丨=1丨z1+z2丨=根号3丨z1-z2丨的值

提问时间：2020-07-24

答案

1、
z=a+bi,a,b是实数
则|z|=√(a²+b²)
所以a+√(a²+b²)+bi=4-2i
所以a+√(a²+b²)=4,b=-2
a+√(a²+4)=4
√(a²+4)=4-a
a²+4=16-8a+a²
a=3/2
所以z=3/2-2i
2、
z=a+bi
则z的共轭虚数是a-bi
所以(1+2i)(a-bi)=4+3i
a-bi=(4+3i)/(1+2i)=(4+3i)(1-2i)/(1+2i)(1-2i)=(10-5i)/(1+4)=2-i
所以z=a+bi=2+i
3、
|z1|=1,所以z1=cosa+isina
同理
z2=cosb+isinb
所以z1+z2=cosa+cosb+i(sina+sinb)
|z1+z2|²=(cosa+cosb)²+(sina+sinb)²=3
cos²a+sin²a+cos²b+sin²b+2cosacosb+2sinasinb=3
2+2(cosacosb+sinasinb)=3
cosacosb+sinasinb=1/2
|z1-z2|=cosa-cosb+i(sina-sinb)
|z1-z2|²=(cosa-cosb)²+(sina-sinb)²
=cos²a+sin²a+cos²b+sin²b-2cosacosb-2sinasinb
=2-2(cosacosb+sinasinb)
=1
所以|z1-z2|=1