题目

请写出下列基本初等函数的导数公式之推导过程!
1：y=c,则y¹=0 2：y=x^n,则y¹=nx^(n-1) 3:y=sinx,则y¹=cosx 4:y=cosx ,则y¹=sinx 5:y=a^x,则y¹=a^xIna 6:y=e^x,则y¹=e^x 7:若y=loga^x,则y¹=1/xIna 8:y=Inx,则y¹=1/x

提问时间：2020-07-22

答案

非常麻烦,主要是有的用键盘打很费事
导数的定义你都知道吧?
首先 Y都改为F（X）
1.f′(x)=lim（△x→0）（前面这括号里的是在lim下面写的,下面都一样,我就不再这么弄了.全都是△x→0）
f′(x)=lim[f（x+△x）-f(x)]/(△x)
=lim[(C-C)/△x]=lim（0/△x）=0
2..
（a+b）^n=a^n+C1na^(n-1)b+C2na^(n-2)b^2...+b^n(这里的1和n是应该在C的右侧上下位置的.就是排列组合里的那个,C1n=n,)
f′（x）=lim{[（x+△x）^n-x^n]/△x}
=lim{[x^n+C1nx^(n-1)△x+C2nx^(n-2)(△x)^2...+(△x)^n]-x^n}/△x
=lim[C1nx^(n-1)+C2nx^(n-2)△x+...+(△x)^(n-1)]
=C1nx^(n-1)+0+...0=nx^(n-1)
3.f′(x)=lim{[sin(x+△x)-sin(x)]/(△x)}
=lim{[2cos(2x+△x)/2]sin[(△x)/2]}/△x
=lim{cos[x+(△x)/2)]*sin[(△x)/2]/[(△x)/2]}=cosx
4.同3.理
f′（x）=-sin(x)
7,8先
7.f′(x)=lim{(loga^[x+(△x)]-loga^x)/△x}
=lim[{loga^[1+(△x)/x]}/{[△x]/x}*(1/x)]
=(1/x)*lim{loga^[1+(△x)/x]*[x/(△x)]}
=(1/x)loga^e=1/xIna
8.当7.中的a=e时
f′(x)=1/x
5.y=a^x,x=loga^y
由7得：
(a^x)′=1/(loga^y)′=ylna=a^xlna
6.当a=e,代入5
f′(x)=e^x
.
累死了