题目

已知函数f（x）=log₄（4^x+1）+kx，（k∈R）为偶函数．
（1）求k的值；
（2）若方程f（x）=log₄（a•2^x-a）有且只有一个根，求实数a的取值范围．

提问时间：2020-07-18

答案

（I） 由题意得f（-x）=f（x），
即log4(4−x+1)+k(−x)＝log4(4x+1)+kx，
化简得log4

4−x+1

4x+1

＝2kx，…（2分）
从而4^（2k+1）x=1，此式在x∈R上恒成立，
∴k＝−

1

2

…（6分）
（II）由题意，原方程化为

4x+1

a•2x−a

＝4

x

2

＝2x且a•2^x-a＞0
即：令2^x=t＞0

(1−a)t2+at+1＝0，(1) at−a＞0，(2)

…（8分）
函数y=（1-a）t²+at+1的图象过定点（0，1），（1，2）如图所示：
若方程（1）仅有一正根，只有如图的三种情况，
可见：a＞1，即二次函数y=（1-a）t²+at+1的
开口向下都可，且该正根都大于1，满足不等式（2），…（10分）
当二次函数y=（1-a）t²+at+1的开口向上，
只能是与x轴相切的时候，
此时a＜1且△=0，即a＝−2−2

2

也满足不等式（2）
综上：a＞1或a＝−2−2

2

…（12分）

（Ⅰ）根据偶函数可知f（x）=f（-x），取x=-1代入即可求出k的值；
（Ⅱ）根据方程f(x)＝log4(a•2x−a)有且只有一个实根，化简可得

4x+1

a•2x−a

＝4

x

2

＝2x有且只有一个实根，令t=2^x＞0，则转化成新方程有且只有一个正根，结合函数的图象讨论a的取值，即可求出实数a的取值范围．

本题考点：根的存在性及根的个数判断；函数奇偶性的性质．

考点点评：本题主要考查了偶函数的性质，以及对数函数图象与性质的综合应用，同时考查了分类讨论的思想，数形结合的思想．属于中档题．