题目

如图,在梯形ABCD中,AD‖BC,AB=DC=AD,∠C=60°,AE⊥BD于点E,F是CD的中点,DG
DG是ABCD的高
(1)求证：四边形AEFD是平行四边形
(2)若四边形DEGF的面积为4√3，求AE的长

提问时间：2020-07-18

答案

证明：
（1）由AB=AD,AE⊥BD可知AE是等腰三角形ABD的高,
所以它也是等腰三角形ABD的中线.
再由F是CD的中点,可得
EF‖BC
再由AD‖BC,可得
EF‖AD ①
又因为∠C=60°
所以∠A=120°
所以∠ABD=30°
所以∠CBD=∠ABC-∠ABD = ∠C -∠ABD =60°-30°=30°
从而∠BDC=90°
再由∠AED=90°,可得
AE‖DF ②
综合①②就可证明四边形AEFD是平行四边形.
（2）
在上面的证明中,还可得到结论BC=2AD.
且也易求得梯形的高DG=（√3）AD/2
所以有
4√3=（AD+BC）•DG/2=[3AD•（√3）AD/2]/2=（3√3）AD²/4
由此可求得
AD=（4√3）/3
又因为在直角三角形ADE中,∠ADE=30°
所以AE=AD/2=（2√3）/3 完.