题目

设f(x)=(x-a)φ (x),其中函数φ (x)在x=a处连续,证明f(x)在x=a处可导,并求其导数

提问时间：2020-07-18

答案

f在x=a处的导数为(f(a+d)-f(a))/d在d趋于0时的极限
判断以上极限当函数φ 在x=a处连续时是否存在
lim(d--0)(f(a+d)-f(a))/d=lim(d--0)(dφ (a+d)-0)/d
=lim(d--0)φ (a+d)=lim(x--a)φ (x)
其中lim(d--0)等表示d趋于0时的极限
由于φ 在x=a处连续,以上极限存在
即f'(a)=lim(d--0)(f(a+d)-f(a))/d=φ (a)
f在a点可导,f'(a)=φ (a)