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题目
求证
3
是无理数.

提问时间:2020-07-18

答案
证明:假设
3
是有理数,则不妨设
3
m
n
(m,n为互质正整数),
从而:(
m
n
2=3,m2=3n2,可见m是3的倍数.
设m=3p(p是正整数),则 3n2=m2=9p2,可见n 也是3的倍数.
这样,m,n就不是互质的正整数(矛盾).
3
m
n
不可能,
3
是无理数.
直接利用反证法的证明方法,设
3
是有理数,推出矛盾即可.

反证法与放缩法.

本题考查反证法的证明方法的应用,基本知识的考查.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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