题目

设集合X是实数集R的子集，如果点x₀∈R满足：对任意a＞0，都存在x∈X，使得0＜|x-x₀|＜a，称x₀为集合X的聚点.用Z表示整数集，则在下列集合中：
①{

n

n+1

|n∈Z，n≥0}

提问时间：2020-07-18

答案

①中，集合{

n

n+1

|n∈Z，n≥0}中的元素是极限为1的数列，
除了第一项0之外，其余的都至少比0大

1

2

，
∴在a＜

1

2

的时候，不存在满足得0＜|x|＜a的x，
∴0不是集合{

n

n+1

|n∈Z，n≥0}的聚点
②集合{x|x∈R，x≠0}，对任意的a，都存在x=

a

2

（实际上任意比a小得数都可以），使得0＜|x|=

a

2

＜a
∴0是集合{x|x∈R，x≠0}的聚点
③集合{

1

n

|n∈Z，n≠0}中的元素是极限为0的数列，
对于任意的a＞0，存在n＞

1

a

，使0＜|x|=

1

n

＜a
∴0是集合{

1

n

|n∈Z，n≠0}的聚点
④对于某个a＜1，比如a=0.5，此时对任意的x∈Z，都有|x-0|=0或者|x-0|≥1，也就是说不可能0＜|x-0|＜0.5，从而0不是整数集Z的聚点
故选A