题目

设f（x）是定义在R上的增函数，且对于任意的x都有f（2-x）+f（x）=0恒成立.如果实数m、n满足不等式组

f(m2−6m+23)+f(n2−8n)＜0 m＞3

’则m²+n²的取值范围是（　　）
A. （3，7）
B. （9，25）
C. （13，49）
D. （9，49）

提问时间：2020-07-13

答案

∵f（2-x）+f（x）=0，∴f（2-x）=-f（x），∴f（m2-6m+23）+f（n2-8n）＜0，可化为f（m2-6m+23）＜-f（n2-8n）=f（2-n2+8n），又f（x）在R上单调递增，∴m2-6m+23＜2-n2+8n，即m2-6m+23+n2-8n-2＜0，∴（m-3）2+（n...

由f（2-x）+f（x）=0，得f（2-x）=-f（x），从而f（m²-6m+23）+f（n²-8n）＜0可化为f（m²-6m+23）＜-f（n²-8n）=f（2-n²+8n），根据f（x）在R上单调递增，可得m²-6m+23＜2-n²+8n，整理得（m-3）²+（n-4）²＜4，由此可画出不等式组

f(m2−6m+23)+f(n2−8n)＜0 m＞3

所表示的点（m，n）对应的区域，根据m²+n²的几何意义可求得答案．

本题考点：函数恒成立问题．

考点点评：本题考查函数恒成立问题、线性规划问题，考查数形结合思想，考查学生分析问题解决问题的能力，属中档题．