题目

抛物线顶点在原点,准线经过双曲线X^/A^ - Y^/B^=1的一个焦点,且平行于Y轴,又抛物线与双曲线的一个交点A
A（2分之3，根号6），求抛物线与双曲线方程

提问时间：2020-07-13

答案

设抛物线方程为y^2=mx,
它过A(3/2,√6）,∴6=3m/2,m=4.
∴抛物线方程为y^2=4x,准线：x=-1,
∴双曲线x^2/a^2 - y^2/b^2=1的一个焦点为(-1,0),
∴a^2+b^2=1,b^2=1-a^2.①
又A在双曲线上,
∴(9/4)/a^2-6/b^2=1.②
把①代入②*a^2*(1-a^2),得
(9/4)(1-a^2)-6a^2=a^2-a^4,
∴a^4-(37/4)a^2+9/4=0,
解得a^2=9(舍）,或a^2=1/4,
代入①,b^2=3/4.
∴双曲线方程为x^2/(1/4)-y^2/(3/4)=1.