题目

导数几何意义的综合运用题
已知函数f(x)=(x^2/a)-1 (a≥0)的图像在x=1处的切线为L,求L与两坐标轴围成的三角形面积的最小值、?
要详解过程、用导数的方法.
详细直线的解法也行

提问时间：2020-07-13

答案

f'(x)=2x/a - 1
f'(1)=2/a - 1
f(1)=1/a - 1
设切线方程 L 为 y=kx+b,代入切点坐标(1,1/a - 1) 和斜率 f'(1)
1/a - 1 = (2/a - 1)x1+b
b=-1/a
x=1处的切线方程 L 为 y= (2/a - 1) x - 1/a
切线 L 与 x 轴的交点为 (1/(2-a),0)
切线 L 与 y 轴的交点为 (0,-1/a)
切线 L 与两坐标轴围成的三角形面积 S = 1/(2-a) * (1/a) / 2 = 1/{2[1-(a-1)²]}
当 a=1 时,S min = ½