题目

已知函数f（x）=ax²-（a+2）x+lnx
（1）若a=1，求函数f（x）的极值；
（2）当a＞0时，若f（x）在区间[1，e]的最小值为-2，求a的取值范围．

提问时间：2020-07-13

答案

（1）a=1，f（x）=x²-3x+lnx，定义域为（0，+∞），
又f′(x)＝2x−3+

1

x

＝

2x2−3x+1

x

＝

(2x−1)(x−1)

x

当x＞1或0＜x＜

1

2

时f'（x）＞0；当

1

2

＜x＜1时f'（x）＜0
所以函数f（x）的极大值=f(

1

2

)＝−

5

4

−ln2，
函数f（x）的极小值=f（1）=-2．
（2）函数f（x）=ax²-（a+2）x+lnx的定义域为（0，+∞），
当a＞0时，f′(x)＝2ax−(a+2)+

1

x

＝

2ax2−(a+2)x+1

x

＝

(2x−1)(ax−1)

x

，
令f'（x）=0，则x＝

1

2

或x＝

1

a

，
①当0＜

1

a

≤1，即a≥1时，f（x）在[1，e]上单调递增，
所以f（x）在[1，e]上的最小值是f（1）=-2；
②当1＜

1

a

＜e时，f（x）在[1，e]上的最小值是f（

1

a

）＜f（1）=-2，不合题意；
③当

1

a

≥e时，f（x）在[1，e]上单调递减，
所以f（x）在[1，e]上的最小值是f（e）＜f（1）=-2，不合题意．
故a的取值范围为[1，+∞）．

（1）求出a=1的函数的导数，求出单调增区间和减区间，从而得到极大值和极小值；
（2）求出导数，并分解因式，对a讨论，分①当0＜

1

a

≤1②当1＜

1

a

＜e时③当

1

a

≥e时，分别求出最小值，并与-2比较，即可得到a的取值范围．

本题考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．

考点点评：本题考查导数的综合应用：求单调区间和求极值，求最值，考查分类讨论的思想方法，属于中档题．