题目

定义域为R的奇函数fx是周期为2的函数 且当x∈(0,1)时 fx=2x次方/（4x次方+1）
（1）求f(x)在【-1,1】上的解析式
（2）当m取何值时,方程f(x)=m在r上有解?

提问时间：2020-07-13

答案

（1）由于f（x）是奇函数,且定义域为R,所以图像原点对称,f（-x）= -f（x）.
那么令x∈(-1,0),-x∈(0,1),就满足f（x）=2x^2/（4x^2+1）代入得：f（-x）=2（-x）^2/（4（-x)^2+1）=2x^2/（4x^2+1),所以f（x）= -2x^2/（4x^2+1）
f（0）= -f（0）得到f（0）=0；
另外：由于f（x）的周期为2,那么f（-1）= f（1）,但根据奇函数得到：f（-1）= - f（1）
联立上面2个式子,就可以得到f（-1）= f（1）=0
所以f（x）的解析式是一个分段函数（写成大括号形式,这里不方便打）：当x∈(-1,0),f（x）= -2x^2/（4x^2+1）；当x∈(0,1)时,f（x）=2x^2/（4x^2+1）；当x=0,-1,1时,f（x）=0
这样第一小问得证
（2）由第一小问,你可以大致画出这个函数在 [-1,1]上的图像（单调递增）,求得它的值域为（-2/5,2/5）.再根据周期为2 这个条件,说明其他地方都是由这一小段平移过去而得到的.所以求当m取何值时,方程f(x)=m在r上有解?实际上等价于求求解当m取何值时,方程f(x)=m在x∈[-1,1]上有解?那么最后m的取值范围就是（-2/5,2/5）.
得证.