题目

1.若实数x,y满足x的平方+y的平方-2x+4y=0,则x-2y的最大值是多少
2.点P在圆a：x的平方+y的平方-8x-4y+11=0上,点Q在圆b：x的平方+y的平方+4x+2y+1=0上,则|PQ|的最小值是多少
3.若实数x,y满足（x-2)的平方+y的平方=1,则y除于x的最大值为多少

提问时间：2020-07-05

答案

1.方法一：设t=x-2y,问题转化为圆x^2+y^2-2x+4y=0与直线t=x-2y有公共点时的最大值问题.方法可用圆心到直线的距离不大于半径来求解.
方法二：将t=x-2y中x或y代入方程x^2+y^2-2x+4y=0获得关于x或y的一元二次方程,利用判别式大于等于0来求t的最大值.
方法三：由x^2+y^2-2x+4y=0可设x=√5cosθ+1,y=√5sinθ-2.代入x-2y化为三角函数求最大值.
答案：最大值为10.
2.由几何知识可得,|PQ|的最小值为两圆圆心距减去两圆半径.答案：3√5-5.
3.方法一：设k=y/x,则问题转化为圆(x-2)^2+y^2=1上点与原点连线斜率的最大值问题.
方法二：将y=kx,代入方程(x-2)^2+y^2=1,消去y得到关于x的一元二次方程,利用判别式大于等于0来求最大值.
答案：√3/3.