题目

为什么零点九循环既等于1又小于1?
设0.9999.=X,则10X=9.9999.即10X-X=9,所以X=1,于是0.9999.=1
0.3333.=1/3,所以0.33.*3=(1/3)*3,即0.999.=1
10的N次幂-1/10的N次幂,当N等于1时值为0.9,等于2时为0.99,等于3时为0.999,依次类推知当N为无穷大时,值为0.99.于是,1-0.999.=(10的无穷次幂/10的无穷次幂)-(10的无穷次幂-1)/10的无穷次幂=1/10的无穷次幂,又因为,1/10的无穷次幂*10的无穷次幂=1,而0*10的无穷次幂=0所以1/10的无穷次幂大于0即1-0.9999.大于0所以1大于0.9999.

提问时间：2020-06-27

答案

事实上, 0.999…… = 1.
我开门见山, 是因为我有充分的准备. 请看:
1. 对于
"设 0.9999…… = X,
则 10X = 9.9999……,
所以 10X-X = 9,
所以 X=1,
于是 0.9999…… = 1"
实际上, 这个证明是数学界公认的正确证明. 为什么这么说呢? 它有没有问题呢? 没有. 我们可以确定它每一步的正确性: 把x乘以十, 结果正确吗? 正确, 因为我们能确信它每一位都左移了. 减法(10x-x)正确吗? 正确. 这个地方较难确认, 但是, 按照小数减法法则, 小数点后每一位对应相减, 没有任何问题.
好, 看第2个证明:
0.3333…… = 1/3,
所以 0.33…… *3 = (1/3)*3,
即 0.999…… = 1.
这不是数学界公认的证明方法, 但大众容易接受. 为什么不被公认呢? 它有值得怀疑的地方: 0.3333…… = 1/3, 就好像人们怀疑 0.999…… = 1 一样. 您看:
0.9 < 1,
0.09 < 1,
0.009 < 1,
……
0.3 < 1/3,
0.03 < 1/3,
0.003 < 1/3,
……
所以严格的说这是不严谨的. 如果有人在百度知道里质疑的不是 0.999…… = 1, 而是 0.3333…… = 1/3, 它还能用作凭据吗? 故我们不作讨论.
接下来论述最后一个证明. 就是楼主说的关于无穷大的证明. 这个对于 0.999…… < 1 的证明是错误的. 然而不管是认为 < 和 = 哪个才是正确的的人, 都会赞同以下观点: 只要你有本事证出 1/10^无穷大=0, 我们就相信 0.999…… = 1; 只要你证出 1/10^无穷大>0, 我们就相信 0.999…… < 1.
为此, 我专门证明 1/10^无穷大=0.
证:
易知 1/10^无穷大不是负数, 因此它大于或等于0.
若 1/10^无穷大>0, 设 1/10^无穷大 = n>0,
则 1/n= 10^无穷大,
但是对于正数n来说, 倒数是一个有限正数,
所以 1/n 不等于 10^无穷大,
所以 1/10^无穷大=0.
证毕.
有些人要说了, 你这证明不对. n是无穷小! 倒数当然无穷大了!
那我再作另一个证明. 准确得说, 不是证明, 是论述.
请问: 无穷大*2=?
假定把无穷大看成数, 则一个正"数", 要么有穷大, 要么无穷大. 如果问号处是有穷大, 显然不对. 故问号处为无穷大.
怎么了? 哦, 无穷大*2=无穷大! 如果让你解一个方程 2x=x, 你会解得 x=0, 而不是 x=无穷大 呀!
这是因为, 无穷大与有穷大是不同的, 在你解方程时, 可以将两边同减去x, 对于数x, 总有 x-x=0, 2x-x=x, 但这些在无穷大处失效了. 实际上, 在数学里, 有下列各式:
实数+无穷大=无穷大,
实数-无穷大=负无穷大,
正数*(正负)无穷大=(正负)无穷大,
负数*(正负)无穷大=(负正)无穷大,
实数/无穷大=实数/负无穷大=0,
无穷大-无穷大=无意义,
0*无穷大=无意义,
无穷大/无穷大=无意义.
以上各式, 有些是楼主必然认同的, 有些是我下面要证明的.
有人要说, 2*无穷大=无穷大, 但是此无穷大非彼无穷大, 等号左右的无穷大是不相等的. 注意, 无穷大是实数域的特征, 是一种属性, 在数学的大分支分析学中是实数域的上界与最小上界, 我们有权利说它们相等不相等吗?
的确, 我们历经沧桑, 见过那么多的实数, 它们与同名称的实数相等, 我们可以用物理方法测量, 得出它们相等. 但是对于眼前这个肥仔"无穷大", 你敢说吗? 敢论证吗? 无穷大是一种属性,可以理解为参与运算的属性. 我们说3=3, 可以认为是3与3参与运算的属性相同. 不是吗?把3和3分别扔到5+右边, 结果都是8! 我说 无穷大=无穷大, 只是说属性一致, 而要比较数值的话, 上帝也得累死.
言归正传. 易得 10^无穷大=无穷大,
1/无穷大*无穷大 等于1吗? 好, 我们能得出
1/无穷大*无穷大 = 无穷大/无穷大.
由前面内容我们得出 1*无穷大 = 无穷大,
2*无穷大 = 无穷大,
3*无穷大 = 无穷大,
……
所以, 无穷大/无穷大=1,
无穷大/无穷大=2,
……
觉得熟悉吗? 亲切吗? 研究 0/0 时的景象, 想起来了吗?
1*0=0,
2*0=0,
3*0=0,
……
所以 0/0=1,
0/0=2,
0/0=3,
……
显然, 以上两个结论都是错误的. 无穷大/无穷大, 和0/0, 都是无意义的.
因此, 1/10^无穷大*10^无穷大=1 是错误的.
另外, 事实上 0*10^无穷大=0 也是错误的. 不过这就是要证的内容, 这里不作论述.
好, 我想以上内容没有问题了. 接下来就接受反驳了.
反驳者1:
9.999…… 小数点后的9比 0.999…… 后的少一个.
答复:
这样说是错误的. 的确, 看:
9小数点后的9比0.9少一个,
9.9小数点后的9比0.99少一个,
9.99小数点后的9比0.999少一个,
……
为什么呢? 对于9和0.9, 在0.9小数点后第1位的9不能在9小数点后第1位找到对应的9;
对于9.9和0.99, 在0.99小数点后第2位的9不能在9.9小数点后第2位找到对应的9, 尽管小数点后第1位的9能找到;
……
但是 0.999…… 和 9.999…… 不同. 对于 0.999…… 小数点后每一个9, 都能在 9.999…… 小数点后找到一个对应的9. 也就是说, 做减法时小数点后能完全消去.
反驳者2:
0.999…… 是趋向于1, 而不是等于1.
答复:
说这种话的人, 对极限的概念没有理解正确. 他该抗议了: 我理解错? 我清楚着呢! 中学里做极限题目, 我还全对呢! 你凭什么这么说?
我是有根据的. 现在中学生学极限, 觉得朦朦胧胧大概是那么回事, 嘿, 考试得满分, 行了, 我理解了. 其实不然, 错误的理解不影响考试, 但影响研究.
下面这句话谁都没有异议吧:
设"0."后面9的个数为n. 当 n→无穷大 时, 0.999…… →1.
正如反驳者本人所说, 趋向(→)和等于(=)是不同的. 那么, n→无穷大 和 n=无穷大 是不同的. n→无穷大, 表明n是自然数, 它朝着某个方向向无穷大奋进, 但不是无穷大, 它是有穷大. 既然n是有穷大, 0.999…… 当然小于1了. 这"某个方向", 可以是笔在纸上写9的方向, 也可以是时间的方向.
学过极限的人知道, "lim(x→a(写在lim下面), y)=b" 与 "当x→a时, y→b" 是相同的. 凭什么说当 n→无穷大时, 0.999……9(n个9) =1-1/10^n→1 呢? 因为指数函数是连续的, 所以人们令n等于假想中的"数"无穷大, 得到1/10^n=0, 而这结论是人们在这之前证明的, 此时 1-1/10^n=1, 因此才有 "当 n→无穷大时, 0.999……9(n个9) =1-1/10^n→1", 因果关系是这样的.
这反驳者, 我们在探讨命题p的正确性, 历史上人们根据命题p推出命题q, 他竟然试图用q来证明p是错误的. 这只有在悖论中才行得通, 然而这里是没有悖论的踪迹的. 有这种想法是相当可笑的, 然而精神是可嘉的.
实际上, 注意, 当 0.999…… 后面9的个数"等于"(注意引号的强调!)无穷大时, 0.999…… 是"等于", 而非"趋向于"1的.
另外奉劝lx_yokumen, 您屡次说"感觉"(不一定是回答百度知道里的问题), 这个词不是不准确的, 而是不正确的. 如果你做一道平面几何题目, 看着图觉得一个点是一条线段的中点, 这是感觉, 是没有根据的. 而我们, 包括楼上几位的论述, 是有根有据的, 即使是错的, 那也是推理的疏漏, 或者是根据本身的问题. 您可以说这样不可靠, 但不能说这是感觉.