题目

已知双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a0,b0)两焦点为F1F2,过F2作x轴的垂线交双曲线于AB两点,且三角形ABF1内切圆的半径为a此双曲线的离心率

提问时间：2020-06-26

答案

欲求双曲线的离心率,只须建立a,c的关系式即可,由双曲线的定义得：|AF1|-|AF2|=2a,|BF1|-|BF2|=2a,从而△ABF1周长为：2|AB|+4a,利用△ABF1内切圆的半径为a,得到△ABF1面积为：S= （|AF1|+|BF1|+|AB|）×a,又S= |AB|×2c,由面积相等即可建立a,c的关系,即可求得此双曲线的离心率．由双曲线的定义得：
|AF1|-|AF2|=2a,|BF1|-|BF2|=2a两式相加得：|AF1|+|BF1|-|AB|=4a,
又在双曲线中,|AB|=2× ,
∴△ABF1周长为：|AF1|+|BF1|+|AB|=2|AB|+4a=4× +4a,
∵△ABF1内切圆的半径为a,
∴△ABF1面积为：S= （|AF1|+|BF1|+|AB|）×a
又S= |AB|×2c,
∴ （4× +4a）×a= |AB|×2c
即c2-a2=ac
解得：e=则此双曲线的离心率二分之 一加根号五