题目

抛物线焦点弦问题
已知抛物线的中点为原点,P大于0,焦点为F,过焦点的直线交抛物线于A、B两点,A、B两点在抛物线准线上的射影为A1、B1,连接A1B,AB1,问这两条直线是否都经过原点.

提问时间：2020-06-25

答案

不妨设抛物线方程为y^2=2px,
直线AB过焦点(p/2,0),可设为：x=ky+p/2
联立可得y^2-2kpy-p^2=0,
设 A(y1^2/(2p),y1),B(y2^2/(2p),y2),则B1(-p/2,y2)
∴ kOA=2p/y1,kOB1=-2y2/p
根据韦达定理可知：y1y2=-p^2,
∴kOA=KOB1,故A、O、B1三点共线（O为原点）.
同理可证：B、O、A1三点共线（O为原点）.
所以这两条直线是否都经过原点.