题目

已知m∈R，函数f（x）=（x²+mx+m）e^x．
（1）若函数f（x）没有零点，求实数m的取值范围；
（2）若函数f（x）存在极大值，并记为g（m），求g（m）的表达式；
（3）当m=0时，求证：f（x）≥x²+x³．

提问时间：2020-06-25

答案

（1）令f（x）=0，得（x2+mx+m）•ex=0，所以x2+mx+m=0．因为函数f（x）没有零点，所以△=m2-4m＜0，所以0＜m＜4．（4分）（2）f'（x）=（2x+m）ex+（x2+mx+m）ex=（x+2）（x+m）ex，令f'（x）=0，得x=-2，或x=-m，...

（1）若函数没有零点，则对应的方程（x²+mx+m）e^x=0没有实根，根据指数的性质，我们易将问题转化为二次方程根的个数判断问题，由此列出关于m的不等式，解不等式即可得到答案．
（2）求出函数的导函数，由于其表达式中含有参数m，故可对m的取值进行分类讨论，综合讨论过程即可得到答案．
（3）当m=0时，f（x）=x²e^x，构造函数ϕ（x）=e^x-1-x，求出函数的导函数后，我们易判断出函数的单调区间及最小值，若最小值大于等于0即可得到结论．

本题考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．

考点点评：本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，利用函数研究函数的极值，其中根据已知函数的解析式，求出函数的导函数是解答此类问题的关键．