题目
定义域在R上的函数f(x)对于任意的x,y有f(x+y)=f(x)+f(y)成立,且f(2)=3,当x>0时,f(x)>0.
(1)判断并证明函数f(x)的单调性和奇偶性;
(2)解不等式:f(|x-5|)-6<f(|2x+3|).
(1)判断并证明函数f(x)的单调性和奇偶性;
(2)解不等式:f(|x-5|)-6<f(|2x+3|).
提问时间:2020-06-25
答案
(1)令x=y=0,则f(0)=0
令y=-x,则f(0)=f(x)+f(-x)=0
∴y=f(x)为奇函数.
任取x1<x2,则x2-x1>0.f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)
∵x2-x1>0∴f(x2-x1)>0
∴f(x2)>f(x1)
∴y=f(x)在R上增函数
(2)∵f(2)=3
∴6=f(2)+f(2)=f(4)
∴f(|x-5|)-6<f(|2x+3|)
∴f(|x-5|-|2x+3|)<f(4)
∴|x-5|-|2x+3|<4
∴
⇒x≥5
或
⇒x<−4
或
⇒−
<x<5
综上知,x>−
或x<−4.
令y=-x,则f(0)=f(x)+f(-x)=0
∴y=f(x)为奇函数.
任取x1<x2,则x2-x1>0.f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)
∵x2-x1>0∴f(x2-x1)>0
∴f(x2)>f(x1)
∴y=f(x)在R上增函数
(2)∵f(2)=3
∴6=f(2)+f(2)=f(4)
∴f(|x-5|)-6<f(|2x+3|)
∴f(|x-5|-|2x+3|)<f(4)
∴|x-5|-|2x+3|<4
∴
|
或
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或
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3 |
2 |
综上知,x>−
3 |
2 |
(1)令x=y=0,求出f(0),再令y=-x,即可判断出奇偶性;利用函数单调性的定义,设任意x1,x2∈R且x1<x2,结合已知不等式比较f(x1)和f(x2)的大小,即可判断出单调性.(2)根据f(2)=3,可求6=f(2)+f(2)=f(4),所以不等式可化为:f(|x-5|-|2x+3|)<f(4),利用函数的单调性得|x-5|-|2x+3|<4,利用零点分段,从而可解不等式.
函数单调性的判断与证明;函数奇偶性的判断.
本题以函数的性质为载体,考查抽象函数的奇偶性和单调性的判断和应用:解不等式,及分类讨论思想,综合性强,难度较大.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
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英语翻译
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