题目

1求自然数n.它能被7和9整除.且共有碍10个约数.
2已知a有2个约数,那么5a有多少约数.
3写出小于150且有15个约数的自然数,并求出它所有约数的和.
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提问时间：2020-06-25

答案

1,能被7和9整除,那我们先看,7*9=63的约数有多少
63的约数:1,3,7,9,21,63
共6个!
记得没错的话,约数个数有个公式可以计算的
就是质数因子的排列组合.
63=3^2*7,所以63的约数个数为（2+1）*(1+1)=3*2=6
由于这个数有10=5*2个约数,所以根据这个公式,只可能是质数因子3的指数为4而不是2,于是3^3*7^1=567
验证,567的约数为:
1,3,7,9,21,27,63,81,189,567,
共10个
2,只有两个约数,说明这个数是个质数,直接可套用公式算出约数个数.
5a=5^1*a^1,
当a不等于5时,约数个数为,(1+1)*(1+1)=4
当a等于5时,约数个数为,2+1=3
3,15=5*3=(4+1)*(2+1)
也就是说,这个数为一个质数的4次方和另一个质数的2次方的乘积
(或者一个质数的14次方,但是2的14次方显然大于144,这种情况不做考虑了!)
我们先看最小的情况2^4*3^2=16*9=144
其余的情况得出的数都比150大,比如3^4*2^2=324
所以我们得到唯一的一个数,144
144的约数为
1,2,3,4,6,8,9,12,16,18,24,36,48,72,144
其总和为
1+2+...+72+144=403