题目

已知定义域为R的函数f(x)满足f[f(x)-x^2+x]=f(x)-x^2+x
1.若f(2)=3,求f(1);又若f(0)=a,求f(a);
2.设有且仅有一个实数x0,使得f(x0)=x0,求函数f(x)的解析式

提问时间：2020-06-22

答案

(1)将x=2及f(2)=3代入已知条件有：f[f(2)-4+2]=3-4+2即f(1)=1.
令x=0,则f[f(0)-0+0]=f(0)-0+0=f(0)=a,即f[f(0)]=f（a）=a
(2)对任意实数x,由题意均有f[f(x)-x^2+x]=f(x)-x^2+x成立.而f(x)-x^2+x恒等于f(x)-x^2+x,所以
f(x)-x^2+x=x0,即f(x)=x^2-x+x0
令f(x)=x解得x1=0,x2=1
所以f(x)的解析式为f(x)=x^2-x 或者f(x)=x^2-x+1