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题目
已知函数f(x)的定义域为(-2,2),函数g(x)=f(x-1)+f(3-2x).
(1)求函数g(x)的定义域;
(2)若f(x)是奇函数且在定义域内单调递减,求不等式g(x)≤0的解集.

提问时间:2020-06-19

答案
(1)∵数f(x)的定义域为(-2,2),函数g(x)=f(x-1)+f(3-2x).
−2<x−1<2
−2<3−2x<2
,∴
1
2
<x<
5
2
,函数g(x)的定义域(
1
2
5
2
).
(2)∵f(x)是奇函数且在定义域内单调递减,不等式g(x)≤0,
∴f(x-1)≤-f(3-2x)=f(2x-3),∴
−2<x−1<2
−2<2x−3<2
x−1≥2x−3
,∴
1
2
<x≤2,
故不等式g(x)≤0的解集是 (
1
2
,2].
(1)由题意知,
−2<x−1<2
−2<3−2x<2
,解此不等式组得出函数g(x)的定义域.
(2)等式g(x)≤0,即  f(x-1)≤-f(3-2x)=f(2x-3),有
−2<x−1<2
−2<2x−3<2
x−1≥2x−3
,解此不等式组,
可得结果.

函数的定义域及其求法;函数单调性的性质;函数奇偶性的性质.

本题考查函数的定义域的求法,利用函数的单调性和奇偶性解不等式,属于基础题.

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