题目

函数在某一点可导 导函数在该点不一定连续 举例说明（或者函数在某一点可导 在该点的临域不可导）
分段函数变限积分 只能保证在该点连续不能保证在该点可导的 不满足我问题的前提条件“在该点可导”

提问时间：2020-12-22

答案

x≠0时,f(x)=x²sin(1/x)
x=0时,f(x)=0
这个函数在x≠0时,可得其导函数为f'(x)=2xsin(1/x)-cos(1/x),也就是说,从这个式子来看,这个函数在x≠0时是存在导数的,且导函数是由基本初等函数函数构成的,因而在x≠0的部分是连续的.
现在来求x=0时是否是可导的,根据导数的定义
lim(a→0)[f(0+a)-f(0)]/a=lim[a²sin(1/a)-0]/a=lim[sin(1/a)/(1/a)]
因为sin(1/a)是有界的,1/a是趋近于无穷大的,因此上述极限等于0,故而原函数在x=0处的导数存在且等于0.
但是可以看到lim(x→0)f'(x)这个极限第一部分2xsin(1/x)=0,而第二部分cos(1/x)却不定,因此极限不存在,故而可以得到你的结论.
函数在某一点可导,但是导函数不一定连续.

楼上的把题目看清楚了,可导说明原函数必定连续,人家问的是导函数连不连续,不在一个阶上.